Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất | Myphamthucuc.vn

Phương pháp tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng d // (P); để tính khoảng cách giữa d và (P) ta thực hiện các bước:

   + Bước 1: Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến (P) có thể được xác định dễ nhất.

   + Bước 2: Kết luận: d(d; (P)) = d(A; (P)).

Cùng Top lời giải tìm hiểu chi tiết hơn về đường thẳng và mặt phẳng song song cùng các dạng bài tập nhé:

1. Định nghĩa mặt phẳng và đường thằng song song

Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng.

Định lí 1: 

Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì d song song với (P). 

Định lí 2: 

(Định lí giao tuyến 2). Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với d. 

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng. 

Xem thêm:  Cảm nhận bài thơ Tây Tiến của Quang Dũng | Myphamthucuc.vn

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó. 

Định lí 3: 

Nếu a b là hai đường thẳng chéo nhau thì có một và chỉ một mặt phẳng chứa a và song song với b. 

Định lí 4: 

Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau và O là một điểm không nằm trên cả hai đường thẳng a và b thì có một và chỉ một mặt phẳng đi qua O và song song với cả hai đường thẳng a, b. 

3. Các dạng toán đường thẳng song song với một mặt phẳng. 

Dạng 1:

 Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng. Phương pháp: Chứng minh đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với một đường thẳng a chứa trong (P) Chú ý: Đường thẳng a phải là đường thẳng đồng phẳng với d, do đó nếu trong hình không có sẵn đường thẳng nào chứa trong (P) và đồng phẳng với d thì khi đó ta chọn một mặt phẳng chứa d và dựng giao tuyến a của mặt phẳng đó với (P) rồi chứng minh d // a. 

Dạng 2: 

Thiết diện song song đường thẳng cho trước Sử dụng định lí giao tuyến 2: “Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với d” để tìm các đoạn giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD)

Xem thêm:  Viết đoạn văn về lòng yêu nước lớp 9 | Myphamthucuc.vn

Hướng dẫn giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 2)

Chọn C

Ta có: I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 3)

 

 

 

 

 

Ví dụ 2: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a/√3 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng:

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a . Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu?

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 4)

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 5)

Gọi O là giao điểm của AC và BD; gọi I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. Khi đó; IM // AD //BC

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của hình vuông nên SO ⊥ (ABCD) .

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 6)

 

 

 

 

 

 

+ Do tam giác SAB là đều cạnh 2a

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 7)

 

 

 

 

 

Đáp án D

5. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2. Gọi E là trung điểm AD. Khoảng cách giữa AB và (SOE) là

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 8)

Bài giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 9)

+ Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy .

mà (SAB) ∩ (SAD) = SA

⇒ SA ⊥ (ABCD) .

+ Do E là trung điểm của AD khi đó

Tam giác ABD có EO là đường trung bình

⇒ EO // AB ⇒ AB // (SOE)

Xem thêm:  Tóm tắt đoạn trích Rô-bin-xơn ngoài đảo hoang ngắn gọn | Myphamthucuc.vn

⇒ d(AB, (SOE)) = d(A; (SOE)) = AH

với H là hình chiếu của A lên SE.

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ∠ABC = 60° Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 30°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và (SAB) theo a bằng:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 11)

Bài giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 12)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Kẻ: OI ⊥ AB; OH ⊥ SI

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 13)

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Do CD // AB nên CD // (SAB)

⇒ d(CD, (SAB)) = d(C; (SAB)) = 2d( O; (SAB))

Ta có: AB ⊥ SO , AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ (SOI) ⇒ AB ⊥ OH

Nên OH ⊥ (SAB) ⇒ d(O, (SAB)) = OH

Mà tam giác ACB cân tại B có ∠ABC = 60° nên tam giác ABC đều

⇒ OC = (1/2)AC = (1/2)AB = a/2 .

+ xét tam giác OAB có:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 14)

 

 

 

 

 

 

 

 

Chọn đáp án B.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB= a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Khoảng cách giữa BC và (SMN) bằng bao nhiêu?

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 15)

Bài giải:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 16)

+ Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC

⇒ BC // (SMN) nên :

d(BC; (SMN)) = d(B; (SMN)) = d(A; (SMN))

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM.

+ Ta chứng minh: MN ⊥ (SAM):

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hay nhất (ảnh 17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Chọn đáp án A

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập