Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng hay nhất | Myphamthucuc.vn

A. Tóm tắt lí thuyết tính chất phân phối phép nhân và phép cộng

1. Tổng & tích hai số tự nhiên:

• Phép cộng kí hiệu +: hai số tự nhiên bất kì cho ta một số tự nhiên duy nhất gọi là tổng của chúng.
• Phép nhân kí hiệu x hoặc . : hai số tự nhiên bất kì cho ta một số tự nhiên duy nhất gọi là tích của chúng.

2. Tính chất của phép cộng và phép nhân:

a, Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân:

a + b =  b + a ; a.b = b.a

• Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi.
• Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không đổi.

b. Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân:

(a + b) + c = a + (b + c); (a.b).c = a.(b.c);

• Muốn cộng môt tổng hai số với một số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của hai số thứ hai và thứ ba.
• Muốn nhân một tích hai số với một số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba.

c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

Với mọi a,b,c  ∈ Z : a.(b + c) = ab + ac;

Muốn nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại.

Tính chất trên cũng đúng đối với phép trừ : a.(b – c) = ab – ac.

Chú ý : Khi thực hiện phép nhân nhiều số ta có thể thay đổi tùy ý vị trí các thừa số; đặt

dấu ngoặc để nhóm các thừa số một cách tùy ý.

Chú ý rằng :

– Tích một số chẵn thừa số nguyên âm sẽ mang dấu “+”.

– Tích một số lẻ thừa số nguyên âm sẽ mang dấu “-“.

d. Cộng với sô 0:

a + 0 = 0 + a = a

Tổng của một số với 0 bằng chính số đó.

e. Nhân với số 1:

a.1 = 1.a = a

Tích của một số với 1 bằng chính số đó.

Chú ý:

• Tích của một số với 0 luôn bằng 0.
• Nếu tích của hai thừa số mà bằng 0 thì ít nhất một thừa số bằng 0.

B. Các dạng toán phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Dạng 1. Áp dụng tính chất của phép nhân để tính tích các số nguyên nhanh và đúng 

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất giao hoán, kết hợp và tính chất phân phối của phép nhân đối với

phép cộng để tính toán được thuận lợi, dễ dàng.

Ví dụ 1. (Bài 90 trang 95 SGK)

Thực hiện các phép tính :

a) 15. (-2). (-5). (-6) ;                 

b) 7. (-11). (-2).

Giải

a) (- 2).(- 5).(- 6) = [15.(- 6)].[(- 2).(- 5)] = (- 90).10 = -900 ;

b) 7.(-11).(- 2) = [4.7.(- 2)].(-11) = (- 56).(-11) = 616 .

Ví dụ 2. (Bài 91 trang 95 SGK)

Thay một thừa số bằng tổng để tính :

a) -57.11 ;                    

b)  75.(-21)

Giải

a) -57.11 = -57.(10 + 1) = – 57.10 + (-57).1 = -570 – 57 = – 627 ;

b) (-21) = 75.(-20 – 1) = 75.(-20) – 75.1 = -1500 – 75 = – 1575 .

Ví dụ 3. (Bài 92 trang 95 SGK)

Tính :

a) (37 – 17). (-5)+ (-13 – 17);

b) (-57) (67 – 34) – 67(34 – 57).

Giải

a) (37 -17). (-5) + 23.(-13-17)

= 20.(-5) + 23.(-30)

= – 100 – 690

= – 790.

b) (-57). (67 – 34) – 67(34 – 57)

= – 57.67 + 57.34 – 67.34 + 67.57

= ( 57 – 67).34

= (- 10).34

= – 340.

Ví dụ 4. (Bài 93 trang 95 SGK)

Tính nhanh :

a) (-4). (+125). (-25). (-6M-8) ;

b) (- 98). (1 – 246) – 246.98.

Giải

a) (-4).(+125).(-25).(-6).(-8) = [(-4).(-25)].[125.(-8)].(-6)

= 100.(-1000).(-6) = 600 000.

b) (-98).(1 – 246) – 246.98 = – 98 + 98.246 – 246.98 = – 98.

Ví dụ 5. (Bài 94 trang 95 SGK)

Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa :

a) (-5).(-5).(-5).(-5).(-5) ;                    

b) (-2).(-2).(-2).(-3).(-3).(-3).

Giải

a) (-5).(-5).(-5).(-5).(-5) = (-5)5 ;

b) (-2).(-2).(-2).(-3).(-3).(-3) = [(-2).(-3)].[(-2).(-3)].[(-2).(-3)] = 6.6.6 = 63 .

Ví dụ 6. (Bài 98 trang 96 SGK)

Tính giá trị của biểu thức :

a) (-125).(-13).(-a), với a = 8 ;

b) (-l).(-2).(-3).(-4).(-5).b  với b = 20.

Giải

a) (-125).(-13).(-a) = (-125).(-13).(-8) = [(-125).(-8)].(-13)

= 1000.(-13) = -13000.

b) (-l).(-2).(-3).(-4).(-5).b = (-l).(-2).(-3).(-4).(-5).20

= [(-l).(-2).(-3).(-4)].[(-5).20]

= 24.(-100) = -2400.

Dạng 2.Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng 

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau đây theo cả hai chiều :

a.(b + c) = ab + ac. a.(b – c) = ab – ac.

Ví dụ 7. (Bài 96 trang 95 SGK)

Tính:

a) (-26) + 26 .137 ;                      

b) 63. (-25) + 25.(-23).

Giải

a) (-26) + 26.127 = 26.137 – 26.237 = 26.(137 – 237)

= 26.(-100) = -2600.

b) 65.(-25) + 25.(-23) = 25.(-23) – 25.63 = 25.(-23 – 63) = 25. (-86)

= – 2150.

Ví dụ 8. (Bài 99 trang 96 SGK)

Áp dụng tính chất a(b – c) = ab – ac, điền số thích hợp vào chỗ trống:

a) … .(-13) + 8.(-13) = (-7 + 8).(-13) = … ;

(-5)-4 – … ) = (-5).(-4) – (-5).(-14) = … .

Giải

a) -7 .(-13) + 8.(-13) = (-7 + 8).(-13) = -13;

b) (-5).(-4 – 14) = (-5).(-4) – (-5).(-14) = -50.

Dạng 3. Xét dấu các thừa số và tích trong phép nhân nhiều số nguyên

Phương pháp giải

Sử dụng nhận xét:

– Tích một số chẵn thừa số nguyên âm sẽ mang dấu “+”.

– Tích một số lẻ thừa số nguyên âm sẽ mang dấu “-“.

Ví dụ 9. (Bài 95 trang 95 SGK)

Giải thích vì sao : (-1)3 = -1. Có còn số nguyên nào khác mà lập phương của nó cũng bằng

chính nó ?

Giải

Ta có : (-1)3 = (-1).(-1).(-1) = -(1.1.1) = -1. Còn hai số nguyên khác cũng có tính chất trên. Đó

là 13 = 1 và o3 = 0.

Ví dụ 10. (Bài 97 trang 95 SGK)

So sánh:

a) (-16).1253.(-8).(-4).(-3) với 0 ;

b) (-24).(-15).(-8).4 với 0.

Giải

a) Đặt A = (-16).1253.(-8).(-4).(-3). Tích này chứa một số chẵn (4) thừa số nguyên âm nên nó

mang dấu “+” . Vậy : A > 0.

b) Đặt B = 13.(-24).(-15).(-8).4. Tích này chứa một số lẻ (3) thừa số nguyên âm nên nó mang

dấu  “-“. Vậy : B < 0.

Ví dụ 11. (Bài 100 trang 96 SGK)

Giá trị của tích m.n2 với m = 2 , n = – 3 là số nào trong 4 đáp số A, B, C, D dưới đây :

A.-18 ;              

B. 18 ;               

C. -36 ;                

D. 36.

Đáp số: B. 18.

C. Một số dạng bài tập khác vận dụng tính chất của phép cộng, phép nhân

Dạng 1: Thực hành phép cộng, phép nhân:

Phương pháp:

• Cộng hoặc nhân các số theo hàng ngang hay cột dọc.
• Sử dụng máy tính bỏ túi (đối với những bài được phép dùng)

Ví dụ 1:

Cho các số liệu về quãng đường bộ:

Hà Nội – Vĩnh yên: 54km;

Vĩnh Yên – Việt Trì: 19km;

Việt Trì – Yên Bái: 82km;

Tính quãng đường một oto đi từ Hà Nội lên Yên Bái qua Vĩnh Yên và Việt Trì.

Dạng 2: Áp dụng các tính chất của phép cộng và phép nhân để tính nhanh:

Phương pháp:

• Quan sát, phát hiện các đặc điểm của các số hạng, các thừa số;
• Từ đó, xét xem nên áp dụng tính chất nào(giao hoán, kết hợp, phân phối) để tính một cách nhanh chóng.

Ví dụ 2:

Áp dụng tính chất a.(b – c) = ab – ac để tính nhẩm:

16.19; 46.99; 35.98

Dạng 3: Tìm số chưa biết trong một đẳng thức:

Phương pháp:

Để tìm số chưa biết trong một phép tính, ta cần nắm vững quan hệ giữa các số trong phép tính. Chẳng hạn: số bị trừ bằng hiệu cộng với số trừ, một số hạng bằng tổng của hai số trừ đi số hạng kia…

Đặc biệt cần chú ý: với mọi a thuộc N ta đều có: a.0 = 0; a.1 = a;

Ví dụ 3: Tìm x biết:

a. (x- 12) : 5 = 2;

b.(20 – x) . 5 = 15;

Dạng 4: Viết một số dưới dạng một tổng hoặc một tích:

Phương pháp:

Căn cứ theo yêu cầu của đề bài, ta có thể viết một số tự nhiên đã cho dưới dạng một tổng của hai hay nhiều số hạng hoặc dưới dạng một tích của hai hay nhiều thừa số.

Ví dụ 4: Viết số 16 dưới dạng:

a. Tích của hai số tự nhiên bằng nhau;

b. Tích của hai số tự nhiên khác nhau;

Dạng 5: Tìm chữ số chưa biết trong phép cộng, phép nhân:

Phương pháp:

• Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có nhớ.
• Làm tính nhân từ phải sang trái, căn cứ vào những hiểu biết về tính chất của cố tự nhiên và của phép tính, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.

Ví dụ 5:

Thay dấu * bằng những chữ số thích hợp:
                      * *  4 *
                  +  1 7  6 *
                      —————-
                   * * 9  0 0

Dạng 6; So sánh hai tổng hoặc hai tích mà không tính giá trị cụ thể của nó:

Phương pháp:

Nhận xét, phát hiện và sử dụng các đặc điểm của các số hạng hoặc các thừa số trong tổng hoặc tích. Từ đó dựa vào các tính chất của phép cộng và phép nhân để rút ra kết luận.

Ví dụ 6: So sánh hai tích 2013.2013 và 2012.2014 mà không tính giá trị của chúng.

Dạng 7: Tìm số tự nhiên có nhiều chữ số khi biết điều kiện xác định các chữ số trong số đó:

Phương pháp:

Dựa vào điều kiện xác định các chữ số trong số tự nhiên cần tìm để tìm từng chữ số có mặt trong số tự nhiên đó.

Ví dụ 7: Bình Ngô đại cáo ra đời năm nào?

Năm abcd Nguyễn Trãi viết Bình Ngô đại cáo tổng kết thăng lợi của cuộc kháng chiến do Lê Lợi lãnh đạo chống quân Minh. Biết rằng ab là tổng số ngày trong hai tuần lễ, còn cd gấp đôi ab. Tính xem abcd là năm nào (các số abcd, ab, cd đều có gạch ngang ở đầu)?

Thay mặt cho các gia sư môn toán lớp 6 tôi xin giải một ví dụ trong những ví dụ trên. Các em có thể tham khảo thêm các lời giải khác ở phần dưới coment hoặc nhanh hơn hãy nhờ gia sư toán 6 của mình giảng giải.

Ví dụ 7:

Theo đề bài thì ab = 7.2 = 14 và cd = 2. ab = 2.14 = 28

Vậy bài Bình Ngô đại cáo ra đời năm abcd = 1428.