Giải Toán 11: Bài 4 trang 53 SGK Hình học 11 | Myphamthucuc.vn

Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Bài 4 trang 53 SGK Hình học 11

Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng qui.

Lời giải

Gọi N là trung điểm CD.

+ G_A là trọng tâm ΔBCD

⇒ G_A ∈ trung tuyến BN ⊂ (ANB)

⇒ AG_A ⊂ (ANB)

G_B là trọng tâm ΔACD

⇒ G_B ∈ trung tuyến AN ⊂ (ANB)

⇒ BG_B ⊂ (ANB).

Trong (ANB): AGA không song song với BGB

⇒ AG_A cắt BG_B tại O

+ Chứng minh tương tự: BG_B cắt CG_C; CG_C cắt AG_A.

+ CGC không nằm trong (ANB) ⇒ AG_A; BG_B; CG_C không đồng phẳng.

⇒ AG_A; BG_B; CG_C đồng quy tại O

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự: AG_A; BG_B; DG_D đồng quy tại O

Vậy AG_A; BG_B ; CG_C; DG_D đồng quy tại O (đpcm).

Xem toàn bộ Giải Toán 11: Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng