/tmp/jirzt.jpg
Nội dung bài viết
a) Khái niệm
– Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số thực cho trước và a ≠ 0
– Đặc biệt, khi b = 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y = ax, biểu thị tương quan tỉ lệ thuận giữa y và x
b) Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + by xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
+ Đồng biến trên R khi a>0
+ Nghịch biến trên R khi a<0
Ví dụ:
Hàm số y=3x−5y=3x−5 có a=3>0a=3>0 nên là hàm số đồng biến.
Hàm số y=−x+2y=−x+2 có a=−1<0a=−1<0 nên là hàm số nghịch biến.
c) Nhận xét về đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
– Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ mà ta gọi là đường thẳng y = ax. Đường thẳng y = ax nằm ở góc phần tư thứ I và thứ III khi a > 0; nằm ở góc phần tư thứ II và thứ IV khi a < 0
– Đồ thị của hàm số y = ax + b là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0.
– Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b; b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
Phương pháp giải
Ví dụ: Với những giá trị nào của x thì hàm số sau đây xác định:
Phương pháp giải:
Để vẽ đồ thị hàm số y=ax+b ta xác định hai điểm bất kỳ phân biệt nằm trên đường thẳng. Sau đó vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó là được.
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y=2x+4.
Lời giải
Đường thẳng y=2x+4 đi qua các điểm A(0;4) và B(-2;0). Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số.
Phương pháp giải
Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)
+ Thế giá trị x = x ∈ D vào biểu thức của hàm số rồi tính giá trị biểu thức (đôi khi ta rút gọn biểu thức, biến đổi x rồi mới thay vào để tính toán.
+ Thế giá trị y = y ta được f(x) = y.
Giải phương trình f(x) = y0 để tím giá trị biến số x (chú ý chọn x ∈ D)
Ví dụ: Tính giá trị của hàm số:
Lời giải
TXĐ: R
Ta có:
f(1) = (-3)/4.(-1)2 + 2 = (-3)/4 + 2 = 5/4.
f(2) = (-3)/4.(2)2 + 2 = -3 + 2 = -1.
Điều kiện để hai đường thẳng y=ax+b và y=αx+β song song với nhau là a=α và b≠β.
Còn điều kiện để hai đường thẳng y=ax+b và y=αx+β vuông góc với nhau là aα=−1.
Ví dụ: Tìm đường thẳng đi qua A(3;2) và vuông góc với đường thẳng y=x+1.
Lời giải:
Giả sử đường thẳng y=ax+b vuông góc với đường thẳng đã cho.
Suy ra 1.a=−1⇔a=−1.
Thay x=3, y=2, a=−1 vào phương trình ta có: 2=−3+b⇔b=5.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y=−x+5.
Phương pháp giải
Gọi hàm số cần tìm là: y = ax + b (a ≠ 0), ta phải tìm a và b
+ Với điều kiện của bài toán, ta xác định được các hệ thức liên hệ giữa a và b.
+ Giải phương trình để tìm a, b.
Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất: y = -2x + b. Xác định b nếu:
a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2.
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm A (-1; 2).
Lời giải
a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 nên b = -2.
Vậy hàm số cần tìm là y = -2x – 2.
b) Đồ thị hàm số y = -2x + b đi qua điểm A(-1; 2) nên:
2 = -2.(-1) + b ⇔ 2 = 2 + b ⇔ b = 0.
Vậy hàm số cần tìm là y = -2x.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 2. Xác định m, biết:
a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.
b) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
Lời giải
a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2 nên điểm A (-2; 0) thuộc đồ thị hàm số.
Do đó: 0 = -2(m – 2) + m + 2 ⇔ -2m + 4 + m + 2 = 0 ⇔ m = 6.
b) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên O (0; 0) thuộc đồ thị hàm số
Do đó: 0 = (m – 2).0 + m + 2 ⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = -2.
Phương pháp giải
Cho điểm M(x; y) và đường thẳng (d) có phương trình:
y = ax + b. Khi đó:
M ∈ (d) ⇔ y = ax0 + b;
M ∉ (d) ⇔ y ≠ ax0 + b.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d): y = -2x + 3. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A (-m; -3).
Lời giải
Đường thẳng (d): y = -2x + 3 đi qua điểm A (-m; -3) khi:
-3 = -2.(-m) + 3 ⇔ 2m = -6 ⇔ m = -3.
Vậy đường thẳng (d): y = -2x + 3 đi qua điểm A (-m; -3) khi m = -3.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng đường thẳng (d): (m + 2)x + y + 4m – 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
Lời giải
Gọi điểm M(x; y ) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua, ta có:
(m + 2) x + y + 4m – 3 = 0
⇔ m(x + 4) + (2x + y – 3) = 0
Đường thẳng (d) luôn đi qua M(x; y ) với mọi m khi và chỉ khi:
Vậy điểm cố định mà (d) luôn qua với mọi giá trị của m là M (-4; 11).